Tests d'hypothèses linéaires dans un modèle de régression non paramétrique.

Abstract

Cette thèse est consacrée à la construction de tests d'hypothèses sur la fonction de régression f, d'un modèle de régression non paramétrique. Dans une première partie, on construit des tests d'hypothèses sur les coefficients de Fourier de f. de tels tests peuvent être utilisés pour comparer deux signaux bruites dans une bande donnée de fréquences. Les statistiques de test que nous utilisons, s'expriment en fonction des coefficients de Fourier empiriques de f. la deuxième partie porte sur le test de l'hypothèse f est un élément de e ou e est un espace vectoriel de dimension finie. Nous proposons deux statistiques de test $r2 n et $m 2 n basées sur deux approximations différentes de la distance dans l 2. La première est obtenue en estimant cette distance par la distance empirique des observations à l'espace e. La seconde est construite à l'aide des observations convenablement corrigées. Dans cette partie, nous supposons que les fonctions considérées sont holderiennes d'ordre strictement plus grand que 1/2 et nous obtenons le comportement asymptotique en loi de chacune des deux statistiques proposées. La troisième partie est une extension de la deuxième au cas où les fonctions sont Riemann-intégrables ; le comportement en loi de la statistique $r2 n est alors sensiblement différent de celui obtenu dans la partie précédente, puisque l'on constate, dans le résultat limite, L'apparition d'un terme non négligeable. Cependant, ce terme supplémentaire est explicite et permet donc la construction de différents tests

This thesis is devoted to the construction of hypotheses tests on the regression func¬ tion / of a nonparametric regression model. In the first part, we construct tests for hypotheses on Fourier coefficients of /. Such tests can be used to compare two noisy signals in a given band of frequencies. The test statistics we use are function of the empirical Fourier coefficients of /. The second part deals with the test of the hypothesis ”/ is in E” where £ is a finite dimensional vector space. We give two test statistics and based upon two different approximations of the L2 distance. The first one is obtained by estimating this distance by the empirical distance between the observations and the vector space E. The second one is constructed by using the observations suitably corrected. In this part, we assume that the functions satisfy the Holder condition with order strictly greater than 1/2, and we obtain the asymptotic weak behaviour of both statistics. The third part is an extension of the second one to the case the functions are Riemann-integrable; the weak behaviour of the statistic is then quite different from the behaviour obtained in the previous part, since a nonnegligeable quadratic term appears in the limit result. However, this additional term is explicit and allows thus the construction of several tests.